雲水遙Hidden star in four seasons.

南开大学 2019 数学伯苓班选拔试题(回忆版)

由于是回忆版,文字必定与原版有所出入。1) 有$f(x) = x^3 - 45x^2 + 612x - 2592 + |x^3 - 45x^2 + 612x - 2592|$试求$f(1) + f(2) + f(3) + \cdots + f(25)$2) 有数列$a_1 = 1, a_2 = 2$和递推关系$a_{n+2} = a_{n+1} + 6a_n$求$a_n$的通项公式3) 判断$\tan(1^\circ)$是否为有理数4) 有抛物线$y^2 = 2px$,B 是其焦点,A 是其上任意一点,C是定点$(a, 0)$其中$a \gt 0$求 a 的取值,使得$\angle BAC$总是锐角5) (1) 说明定义在实数线上的周期函数是否都有最小正周期 (2) 对非零实数$a, b$求使得$f(x) = \sin(ax) + \sin(bx)$是周期函数的充分必要条件6) 对正整数列$a_n$令$S_n$为前 n 项和,$P_n$为前 n 项积,且对任意$n \geq 1$都有$S_n | P_n$,试问$a_n$能否为等比数列