Wolstenholme 定理1,即是指同餘式:
對質數成立。也等價於:
這一形式來自 J.W.L. Glashier。
以上皆是引用。本文將用初等方法證明以上的定理。
所謂“初等方法”是指不超過高校初等數論2教材範圍的方法。請注意,這個證明的一部分是由紀春崗教授提供的3。
準備工作
引理 14
對質數以及
,下列同餘式成立:
證明:取是模
的一個原根。另外,當
時結論平凡。知
構成了模
的一個縮系,於是:
定理 1
對質數,下列同餘式成立:
證明:
令,由 Fermat's little theorem,
即
定理 2
對質數,下列同餘式成立:
證明:
同樣由 Fermat's little theorem,
即
證明 Wolstenholme 定理
Wolstenholme 定理 Form 1
(Joseph Wolstenholme,1862)
證明:
令
代入
(定理 1)
從而
即
Wolstenholme 定理 Form 2
(J.W.L. Glashier)
證明:
由定義知
和
於是
而
從定理 Form 1 的證明中引進多項式,有
知
於是
用奠基,由第二數學歸納法即得
- https://en.wikipedia.org/wiki/Wolstenholme%27s_theorem↩
- 《初等數論》(第三版),閔嗣鶴、嚴士健 編。ISBN 978-7-04-011874-2 ↩
- 2017 年江蘇省數學聯賽複試,二試數論。 ↩
- 這個方法來自 https://math.stackexchange.com/a/1766492↩