Wolstenholme 定理1,即是指同餘式:

\[ \binom{2p-1}{p-1} \equiv 1 \pmod{p^3} \]

對質數\(p \geq 5\)成立。也等價於:

\[ \binom{np}{rp} \equiv \binom{n}{r} \pmod{p^3} \]

這一形式來自 J.W.L. Glashier。

以上皆是引用。本文將用初等方法證明以上的定理。

所謂“初等方法”是指不超過高校初等數論2教材範圍的方法。請注意,這個證明的一部分是由紀春崗教授提供的3

準備工作

引理 14

對質數\(p \geq 3\)以及\(1 \leq k < p-1\),下列同餘式成立:

\[ 1^k + 2^k + \cdots + (p-1)^k \equiv 0 \pmod{p} \]

證明:取 \(a\) 是模 \(p\) 的一個原根。另外,當 \(k = 1\) 時結論平凡。知 \(a^r \bmod{p}\) 構成了模 \(p\) 的一個縮系,於是:

\[ LHS \equiv \displaystyle\sum_{r=0}^{p-1} (a^r)^k \equiv \frac{a^{k(p-1)} - 1}{a^k - 1}\\ \because k \leq p - 2 \therefore p \nmid a^k - 1\\ \therefore LHS \equiv 0 \pmod{p} \blacksquare \]

定理 1

對質數 \(p \geq 5\),下列同餘式成立:

\[ (p-1)! (1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{p-1}) \equiv 0 \pmod{p^2} \]

證明:

\[ LHS = \displaystyle\sum_{i=1}^{p-1} \frac{1}{i} = \frac{1}{2} \displaystyle\sum_{i=1}^{p-1} (\frac{1}{i} + \frac{1}{p - i}) = \frac{p}{2} \displaystyle\sum_{i=1}^{p-1} \frac{1}{i(p-i)}\\ \text{令 } A = \displaystyle\sum_{i=1}^{p-1} \frac{1}{i(p-i)}\\ \text{由 Fermat's little theorem,} (1\times2\times\cdots\times(p-1))^{p-1}A\\ = \displaystyle\sum_{i=1}^{p-1} \frac{ (1\times2\times\cdots\times(p-1))^{p-1} }{ i(p-i) } \equiv \displaystyle\sum_{i=1}^{p-1} i^{p-2}(p-i)^{p-2} \equiv - \displaystyle\sum_{i=1}^{p-1} i^{2p-4}\\ \equiv - \displaystyle\sum_{i=1}^{p-1} i^{p-3} \equiv 0 \pmod{p} \text{ (引理 1)}\\ \therefore p | A \therefore p^2 | LHS\\ \text{即 } (p-1)! (1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{p-1}) \equiv 0 \pmod{p^2} \blacksquare \]

定理 2

對質數 \(p \geq 5\),下列同餘式成立:

\[ (p-1)!^2 (1 + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{(p-1)^2}) \equiv 0 \pmod{p} \]

證明:

\[ \text{同樣由 Fermat's little theorem, }\\ \displaystyle\sum_{i=1}^{p-1} \frac{ (1\times2\times\cdots\times(p-1))^{p-1} }{ i^2 } \equiv \displaystyle\sum_{i=1}^{p-1} i^{p-3} \equiv 0 \pmod{p} \text{ (引理 1)}\\ \text{即 } (p-1)!^2 (1 + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{(p-1)^2}) \equiv 0 \pmod{p} \blacksquare \]

證明 Wolstenholme 定理

Wolstenholme 定理 Form 1

\[ \binom{2p-1}{p-1} \equiv 1 \pmod{p^3} \]

(Joseph Wolstenholme,1862)

證明:

\[ LHS - RHS = \binom{2p-1}{p-1} - 1 = \frac{(2p-1)!}{(p-1)! p!} - 1 = \frac{ \displaystyle\prod_{i=1}^{p-1} (p + i) - (p-1)! }{ (p-1)! }\\ \text{令 } f(x) = \displaystyle\prod_{i=1}^{p-1} (x+i) = x^p + a_{p-1} x^{p-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x^1 + (p-1)!\\ \text{代入 } x = p\\ \begin{align} a_2 & = (p-1)! \displaystyle\sum_{1 \leq i \text{<} j \leq p-1} \frac{1}{i} \cdot \frac{1}{j}\\ & = (p-1)! \frac{1}{2} \left\lbrack (\displaystyle\sum_{i=1}^{p-1} \frac{1}{i})^2 - \displaystyle\sum_{i=1}^{p-1} \frac{1}{i^2} \right\rbrack\\ & \equiv 0 \pmod{p} \text{ (定理 1、定理 2)} \end{align}\\ a_1 = (p-1)! \displaystyle\sum_{i=1}^{p-1} \frac{1}{i} \equiv 0 \pmod{p^2} \text{ (定理 1)}\\ \text{從而 } p^3 | \left( f(p) - (p-1)! \right )\\ p^3 \left| \frac{ \displaystyle\prod_{i=1}^{p-1} (p + i) - (p-1)! }{ (p-1)! } \right. \\ \text{即 } LHS \equiv RHS \pmod{p^3} \blacksquare \]

Wolstenholme 定理 Form 2

\[ \binom{np}{rp} \equiv \binom{n}{r} \pmod{p^3} \]

(J.W.L. Glashier)

證明:

\[ \text{由定義知 } \binom{np}{0} = 1 = \binom{n}{0}\\ \text{和 } \binom{n}{r+1} = \binom{n}{r} \frac{r+1}{n-r}\\ \text{於是 } \binom{np}{(r+1)p} = \binom{np}{rp} \frac{ (rp+1)(rp+2)\cdots(rp+p) } { (np-rp)(np-rp-1)\cdots(np-rp-p+1) }\\ = \binom{np}{rp} \frac{(r+1)p}{(n-r)p} \cdot \frac{ (rp+1)(rp+2)\cdots(rp+p-1) } { ((n-r)p-1)((n-r)p-2)\cdots((n-r)p-p+1) }\\ = \binom{np}{rp} \frac{r+1}{n-r} \cdot \frac{A}{B}\\ \text{而 } \frac{A}{B} \equiv 1 \pmod{p^3} \Leftrightarrow A \equiv B \pmod{p^3}\\ \text{從定理 Form 1 的證明中引進多項式 f(x),有 } A = f(rp),\quad B = f((n-r+1)p)\\ \text{知 } A \equiv (p-1)! \pmod{p^3}, \quad B \equiv (p-1)! \pmod{p^3}\\ \text{於是 } A \equiv B \pmod{p^3} \Rightarrow \frac{A}{B} \equiv 1 \pmod{p^3}\\ \binom{np}{(r+1)p} \equiv \binom{np}{rp} \frac{r+1}{n-r} \pmod {p^3}\\ \text{用 } \binom{np}{0} \equiv \binom{n}{0} \pmod{p^3} \text{ 奠基,由第二數學歸納法即得}\\ \binom{np}{rp} \equiv \binom{n}{r} \pmod{p^3} \quad \forall\, 0 \leq r \leq n,\,r \in \mathbb{N};\\ \blacksquare \]

  1. https://en.wikipedia.org/wiki/Wolstenholme%27s_theorem
  2. 《初等數論》(第三版),閔嗣鶴、嚴士健 編。ISBN 978-7-04-011874-2
  3. 2017 年江蘇省數學聯賽複試,二試數論。
  4. 這個方法來自 https://math.stackexchange.com/a/1766492